Question

函数f(x)=x^2+(a+1)^2+|x+a-1|的最小值大于5，试求实数a的取值范围

详细过程！！！

Answer 1

解：
f(x)=x²+x+a²+3a (x≥1-a)
=x²-x+a²+a+1 (x<1-a)
而f(1-a)=2a²+2
1）当1-a≥1/2，即a≤1/2时
f(x)在x>1-a上为增函数
f(1/2)=(1/2)²-(1/2)+a²+a+1=a²+a+3/4
f(1-a)-f(1/2)=a²-a+5/4=(a-1/2)²+1>0
故此时f(x)的最小值为f(1/2)=a²+a+3/4>5
综上解得：a<-(3√2+1)/2

2）当1-a≤-1/2，即a≥3/2时
f(x)在x<1-a上为增函数
f(-1/2)=(-1/2)²+(-1/2)+a²+3a=a²+3a-1/4
而f(1-a)=2a²+2
f(1-a)-f(1/2)=a²-3a+9/4=(a-3/2)²≥0
故此时f(x)的最小值为f(-1/2)=a²+3a-1/4>5
综上解得：a≥3/2

（3）当-1/2<1-a<1/2，即1/2<a<3/2时
f(x)的最小值为f(1-a)=2a²+2>5
解得：a>√6/2或a<-√6/2
综上有：√6/2<a<3/2

综合以上三种情况，有
a的区间为：(√6/2,+∞)∪(-∞,-(3√2+1)/2)