Question

关于高数极限δ的问题

题目是：当x→2时，y=x^2→4.问δ等于多少，使当│x-2│<δ时，│y-4│<0.001？答案直接不妨设│x-2│<1，开始做的，于是为什么是1？换其他的数的话答案不就完全不同了吗？
PS：这是同济高数教材上的题，之前例题也有一个直接设1的……不解…难道仅仅为了计算简单？

Answer 1

这跟具体计算没关系。因为极限是求x在2附近的局部行为，与x离开2“一点距离"后f的值没任何关系。所以我们只需要考虑x充分接近2时f的值就行了，于是可以要求（或者说认为假设）x离目标近一点，这样也可以简化某些不必要的麻烦，这不影响极限的讨论。
如你所说，这个取多少没有规定，直观当然越小越好啦，比如你可以假定│x-2│<1/100000000,都没问题的。限制得越小，x就越靠近2，你就越“把握”了x的行为啊，你对f的估计也就越准确（连续函数），自然是越有利。这个视你需要而定，取得小固然可以达到目标，但计算也许反倒不方便，如果取1，也能达到同样地目的，计算肯定比1/100000000方便吧，那何乐而不为呢。

Answer 2

这是用定义去求极限，其实完全不用这么做，这个极限是一眼可看出的，他只不过是给你一个过程而已，不必在意。另：极限求法主要有洛必达法则，泰勒公式，等价无穷小等等。