已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,试判断g(x)与h(x)的奇偶性。

已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,1.试判断g(x)与h(x)的奇偶性。2试判断g(x),... 已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,
1.试判断g(x)与h(x)的奇偶性。
2试判断g(x),h(x),与f(x)的关系。
3由此得出什么结论,说明理由。
要过程
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XXASLANXX
2011-10-10 · TA获得超过2369个赞
知道小有建树答主
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上次才回答了个一模一样的题。
解:1.首先,g(x)和h(x)的定义域均为R,关于原点对称。
其次,g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)为偶函数。
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)为奇函数。
2.注意到g(x)和h(x)的表达式中间符号不一样,相加可以抵消。
g(x)+h(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2=2f(x)/2=f(x)
故g(x),h(x),与f(x)的关系为g(x)+h(x)=f(x)
3.(第三问一般都是根据前两问而来,把前两问答案看看就知道第三问怎么回答了)
因为定义在R上的函数f(x)=g(x)+h(x)(2问结论,注意到f(x)是具有一般性的)
且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数(1问结论),
所以有结论:任何一个定义在R上的函数f(x)都可以表达为一个偶函数和一个奇函数
的和的形式。(或任何一个定义在R上的函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到)

我高三的时候做过一道题,要你证明:一个定义在R上的函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到,诺就是把g(x)和h(x)设成那两个形式了。
这个貌似是一个定理,我不知道是谁的定理了,百度了下也没找的答案,高中时候的题老是让我想起当年,加油吧同学!
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