Question

已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,试判断g(x)与h(x)的奇偶性。

已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,
1.试判断g(x)与h(x)的奇偶性。
2试判断g（x），h（x），与f（x）的关系。
3由此得出什么结论，说明理由。
要过程

Answer 1

上次才回答了个一模一样的题。
解：1.首先，g(x)和h(x)的定义域均为R，关于原点对称。
其次，g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)为偶函数。
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)为奇函数。
2.注意到g(x)和h(x)的表达式中间符号不一样，相加可以抵消。
g(x)+h(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2=2f(x)/2=f(x)
故g（x），h（x），与f（x）的关系为g(x)+h(x)=f(x)
3.(第三问一般都是根据前两问而来，把前两问答案看看就知道第三问怎么回答了）
因为定义在R上的函数f(x)=g(x)+h(x)（2问结论，注意到f(x)是具有一般性的）
且g(x)为偶函数，h(x)为奇函数（1问结论），
所以有结论：任何一个定义在R上的函数f(x)都可以表达为一个偶函数和一个奇函数
的和的形式。（或任何一个定义在R上的函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到）

我高三的时候做过一道题，要你证明：一个定义在R上的函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到，诺就是把g(x)和h(x)设成那两个形式了。
这个貌似是一个定理，我不知道是谁的定理了，百度了下也没找的答案，高中时候的题老是让我想起当年，加油吧同学！