Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长得速度运动t秒（t大于0）

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长得速度运动t秒（t大于0）,抛物线y=x²+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1,0），B（1，-5），D（4,0）
①求c,b（用含t的代数式表示）
②当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB.CD交于点M,N。
1.在点P得运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
2.求△MPN得面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=21/8?
③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横，纵坐标都是整数的点称“好点”。若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围

Answer 1

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；
（2）①不变．
如图6，当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t），
∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
= 1/2（t-4）（4t-16）+ 1/2[（4t-16）+（t-1）]×3- 1/2（t-1）（t-1）
= 3/2t²- 15/2t+6．
解 3/2t2- 15/2t+6= 21/8，
得：t1= 1/2，t2= 9/2，
∵4＜t＜5，
∴t1= 1/2舍去，
∴t= 9/2．

（3） 7/2＜t＜ 11/3．

Answer 2

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）①不变．
∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
=

1
2
（t-4）（4t-16）+

1
2
[（4t-16）+（t-1）]×3-

1
2
（t-1）（t-1）=

3
2
t2-

15
2
t+6．解

3
2
t2-

15
2
t+6=

21
8
，得：t1=

1
2
，t2=

9
2
，

∵4＜t＜5，
∴t1=

1
2
舍去，∴t=

9
2
．

（3）

7
2
＜t＜

11
3
．

①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

7
2
＜t＜4且

10
3
＜t＜

11
3
，解得

7
2
＜t＜

11
3
；

③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；
④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；
⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；
综上所述，t的取值范围是：

7
2
＜t＜

11
3 ．

Answer 3

如图所示