Question

求证f（x）=1+x/根号下x在（0，1】上时减函数

请写出过程，谢谢。
题目打错了，，，，是x在（0,1]上是减函数。

Answer 1

证明：f(x)=1+x/√x=1+√x=lg10+lgx^(1/2)=lg10x^(1/2)
∵ x∈(0, 1]
∴ 1＜10x^(1/2)＜10
∵ 函数F(X)=lgX，在(0, 1]上是减函数
∴ f(x)=1+x/√x 在在(0, 1]上是减函数。

追问

ig是什么啊，我高一。

追答

证明：f(x)=1+x/√x=1+√x=lg10+lg10^[x^(1/2)]=lg10^[1+x^(1/2)]
∵ x∈(0, 1]
∴ 10^[1+x^(1/2)] ∈(10, 100]
∵ 函数F(X)=lgX，在(10, 100]上是增函数
∴ f(x)=1+x/√x 在(0, 1]上是增函数。

备注：追问前的式子有问题，追问后的式子应该没有问题的。但为什么是增函数？题目是否有问题？
注：lg 表示常用对数。

哦哦，我明白了，题目应该是：证明f(x)=(1+x)/√x，x在（0,1]上是减函数。

证明：设x1、x2∈(0，1]，且x2＞x1，则
△x=x2-x1＞0
△y=f(x2)-f(x1)=[(1+x2)/√x2]-[(1+x1)/√x1]
∵ x1∈(0，1]，且x2＞x1
∴ 1+x1-2√x1 =(1-√x1 )^2＞0
∴ 0 ＜(1-√x1 )^2＜1
即 2√x1＜1+x1 ＜1+2√x1
∴2＜ (1+x1)/√x1＜1/√x1 +2
方法相似可得，2≤ (1+x2)/√x2＜1/√x2 +2
又 △y=[(1+x2)/√x2]-[(1+x1)/√x1]
当(1+x2)/√x2 =2 （即x2=1）时，因 (1+x1)/√x1＞2，∴ △y＜0
当(1+x2)/√x2=1/√x2 +2（无限趋近，近似 相等）时，又 1/√x2 +2＜1/√x1 +2
∴ △y=[1/√x2 +2] - [(1+x1)/√x1]，将[1/√x2 +2]换成比其更大的值1/√x1 +2，则
1/√x1 +2 -[(1+x1)/√x1]=2-√x1＜0
∴ △y＜0
综上所述， 函数f(x)=(1+x)/√x 在(0, 1]上是减函数。