Question

高三立体几何，求详细解答

Answer 1

(1)、
证：依题意有：AB⊥BC
∵SA⊥面ABC
∴AB为SB在面ABC上的射影
又M为SB的中点
∴AM在面ABC的射影在AB上
∴AM⊥BC
∵SA=AB，SM=BM
∴AM⊥SB
∴AM⊥面SBC
∴AM⊥SC
又AN⊥SC
∴SC⊥面AMN
(2)、
由(1)中结论AM⊥面SBC
∴AM⊥MN
又SC⊥面AMN
∴MN为CM在面AMN上的射影
∴CM⊥AM
∴∠CMN为要求的二面角N-MA-C
设SA=a，则有AB=BC=a，SB=√2a，AC=√2a
据射影定理，可证：SB⊥BC
∴SC=√3a
又∵RT△SMN∽RT△SCB
∴SM/SC=MN/BC
∴MN=√6a/6
在RT△SAC中，∠SAC=90°，SA=a，SC=√3a，AC=√2a，AN⊥AC
∴AN=SA*AC/SC=√6a/3
∴CN=√(AC^2-AN^2)=2√3a/3
∴cos∠CMN=MN/CN=√2/4
即二面角N-MA-C的余弦值为√2/4