Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．（1）试判断线段DE与D

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．（1）试判断线段DE与DF是否相等？并说明理由；（2）若AE=4，FC=3，求线段EF的长．

Answer 1

（1）DE=DF，理由如下： 如图，连接BD． ∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点， ∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C． ∵DE丄DF， ∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF， ∴∠FDC=∠EDB． 在△EDB与△FDC中， ∵ ∠EBD=∠C BD=CD ∠EDB=∠FDC ， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴DE=DF； （2）∵△EDB≌△FDC， ∴BE=FC=3， ∴AB=AE+BE=4+3=7，则BC=AB=7， ∴BF=BC-CF=7-3=4． 在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°， ∴EF 2 =BE 2 +BF 2 =3 2 +4 2 ， ∴EF=5． 故线段EF的长为5．