如图,在Rt△ABC中,AB=BC,D为AC边的中点,过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F.(1)试判断线段DE与D

如图,在Rt△ABC中,AB=BC,D为AC边的中点,过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F.(1)试判断线段DE与DF是否相等?并说明理由;(2)若AE=4,F... 如图,在Rt△ABC中,AB=BC,D为AC边的中点,过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F.(1)试判断线段DE与DF是否相等?并说明理由;(2)若AE=4,FC=3,求线段EF的长. 展开
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那年夏天QT02
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(1)DE=DF,理由如下:
如图,连接BD.
∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,
∴BD⊥AC,BD=CD=AD,∠ABD=45°,
∴∠C=45°,
∴∠ABD=∠C.
∵DE丄DF,
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF,
∴∠FDC=∠EDB.
在△EDB与△FDC中,
∠EBD=∠C
BD=CD
∠EDB=∠FDC

∴△EDB≌△FDC(ASA),
∴DE=DF;

(2)∵△EDB≌△FDC,
∴BE=FC=3,
∴AB=AE+BE=4+3=7,则BC=AB=7,
∴BF=BC-CF=7-3=4.
在Rt△EBF中,∵∠EBF=90°,
∴EF 2 =BE 2 +BF 2 =3 2 +4 2
∴EF=5.
故线段EF的长为5.
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