Question

已知函数f（x）=（ax 2 +x-1）e x ，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f

已知函数f（x）=（ax 2 +x-1）e x ，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；（3）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 +m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=（ax 2 +x-1）e x ，∴f′（x）=（2ax+1）e x +（ax 2 +x-1）e x =（ax 2 +2ax+x）e x ， （1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1）， 化为一般式可得4ex-y-3e=0； （2）当a＜0时，f′（x）=（ax 2 +2ax+x）e x =[x（ax+2a+1）]e x ， 若a= - 1 2 ，f′（x）=- 1 2 x 2 e x ＜0，函数f（x）在R上单调递减， 若 a＜- 1 2 ，当x∈（-∞，-2- 1 a ）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（-2- 1 a ，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 若 - 1 2 ＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2- 1 a ，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（0，-2- 1 a ）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； （3）若a=-1，f（x）=（-x 2 +x-1）e x ，可得f（x）-g（x）=（-x 2 +x-1）e x - 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -m， 原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点， 即y=m与y=（-x 2 +x-1）e x - 1 3 x 3 - 1 2 x 2 的图象有3个不同的交点， 构造函数F（x）=（-x 2 +x-1）e x - 1 3 x 3 - 1 2 x 2 ， 则F′（x）=（-2x+1）e x +（-x 2 +x-1）e x -x 2 -x =（-x 2 -x）e x -x 2 -x=-x（x+1）（e x +1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1， 且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减， 当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增， 故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）= - 3 e - 1 6 ，在x=0处取极大值F（0）=-1， 要满足题意只需∈（ - 3 e - 1 6 ，-1）即可． 故实数m的取值范围为：（ - 3 e - 1 6 ，-1）