Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于 点E．（1）求证：AE=AF；

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于 点E．（1）求证：AE=AF；（2）若PB：PA=1：2，M是 BC 上的点，AM交BC于D，且PD=DC，试确定M点在BC上的位置，并证明你的结论．

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Answer 1

（1）证明：∵PF平分∠APC， ∴∠1=∠2， 又∵PA是⊙O的切线， ∴∠C=∠PAB． ∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C， ∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF． （2）M点在 BC 的中点上， 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线， ∴PA 2 =PB×PC， ∵PB：PA=1：2， 假设PB=x，PA=2x， ∴4x 2 =x?PC， ∴PC=4x， ∵PD=DC， ∴PD=DC=2x， ∴PA=PD， 又∵∠1=∠2， ∴PN⊥AD，（等腰三角形的三线合一）， ∴AN⊥EF， ∵AE=AF， ∴∠EAN=∠FAN， ∴ BM = CM ， ∴M点在 BC 的中点上．