Question

（2013年四川攀枝花4分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE

（2013年四川攀枝花4分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH= BD其中正确结论的为 　 　 （请将所有正确的序号都填上）．





Answer 1

①③④。

∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC。 ∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC。 ∵F为AB的中点，∴AB=2AF。∴BC=AF。∴△ABC≌△EFA（SAS）。∴FE=AB。 ∴∠AEF=∠BAC=30°。∴EF⊥AC。故①正确。 ∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC。 ∵F是AB的中点，∴HF= BC。 ∵BC= AB，AB=BD，∴HF= BD。故④说法正确。 ∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°。 ∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF。 ∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°。∴∠BDF=∠AEF。∴△DBF≌△EFA（AAS）。∴AE=DF。 ∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形。 ∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形。故②说法不正确。 ∵四边形ADFE为平行四边形，∴AG= AF。∴AG= AB。 ∵AD=AB，∴AD= AG，即AD=4AG。故③说法正确。 综上所述，正确结论的为①③④。