Question

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=e^x-ax²-bx-1，∴g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
又g′（x）=e^x-2a，x∈[0，1]，∴1≤e^x≤e，
∴①当a≤

1

2

时，则2a≤1，g′（x）=e^x-2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）_min=g（0）=1-b；
②当

1

2

＜a＜

e

2

，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x-2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x-2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）_min=g[ln（2a）]=2a-2aln（2a）-b；
③当a≥

e

2

时，则2a≥e，g′（x）=e^x-2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）_min=g（1）=e-2a-b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为gmin(x)＝

1?b  (a≤ 1 2 ) 2a?2aln(2a)?b  ( 1 2 ＜a＜ e 2 ) e?2a?b  (a≥ e 2 )

；
（2）由f（1）=0，?e-a-b-1=0?b=e-a-1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤

1

2

或a≥

e

2

时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若

1

2

＜a＜

e

2

，则g_min（x）=2a-2aln（2a）-b=3a-2aln（2a）-e+1
令h（x）=

3

2

x?xlnx?e+1  （1＜x＜e）
则h′(x)＝

3

2

?(lnx+x?

1

x

)=

1

2

?lnx，∴h′(x)＝

1

2

?lnx．由h′(x)＝

1

2

?lnx＞0?x＜

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