已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的... 已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围． 展开
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#热议# 为什么有人显老，有人显年轻？
悦少_cqtrxm
推荐于2016-12-01 · TA获得超过143个赞
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∵f（x）=ex-ax2-bx-1，∴g（x）=f′（x）=ex-2ax-b，
又g′（x）=ex-2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①当a≤
1
2
时，则2a≤1，g′（x）=ex-2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1-b；
②当
1
2
＜a＜
e
2
，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex-2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex-2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min=g[ln（2a）]=2a-2aln（2a）-b；
③当a≥
e
2
时，则2a≥e，g′（x）=ex-2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e-2a-b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为gmin(x)＝
1?b  (a≤
1
2
)
2a?2aln(2a)?b  (
1
2
＜a＜
e
2
)
e?2a?b  (a≥
e
2
)
；
（2）由f（1）=0，?e-a-b-1=0?b=e-a-1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤
1
2
或a≥
e
2
时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若
1
2
＜a＜
e
2
，则gmin（x）=2a-2aln（2a）-b=3a-2aln（2a）-e+1
令h（x）=
3
2
x?xlnx?e+1  （1＜x＜e）
则h′(x)＝
3
2
?(lnx+x?
1
x
)=
1
2
?lnx，∴h′(x)＝
1
2
?lnx．由h′(x)＝
1
2
?lnx＞0?x＜
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