Question

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=e^x-ax²-bx-1，∴g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
又g′（x）=e^x-2a，x∈[0，1]，∴1≤e^x≤e，
∴①当a≤

1

2

时，则2a≤1，g′（x）=e^x-2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）_min=g（0）=1-b；
②当

1

2

＜a＜

e

2

，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x-2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x-2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）_min=g[ln（2a）]=2a-2aln（2a）-b；
③当a≥

e

2

时，则2a≥e，g′（x）=e^x-2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）_min=g（1）=e-2a-b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为gmin(x)＝

1?b  (a≤ 1 2 ) 2a?2aln(2a)?b  ( 1 2 ＜a＜ e 2 ) e?2a?b  (a≥ e 2 )

；
（2）由f（1）=0，?e-a-b-1=0?b=e-a-1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤

1

2

或a≥

e

2

时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若

1

2

＜a＜

e

2

，则g_min（x）=2a-2aln（2a）-b=3a-2aln（2a）-e+1
令h（x）=

3

2

x?xlnx?e+1  （1＜x＜e）
则h′(x)＝

3

2

?(lnx+x?

1

x

)=

1

2

?lnx，∴h′(x)＝

1

2

?lnx．由h′(x)＝

1

2

?lnx＞0?x＜

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2020-05-29 已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1 , g(x)=x+e²/x (x＞0，e表示自然对数的底数） 4 2016-09-29 已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的 10 2019-07-01 已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；（2）当 4 2016-10-06 已知函数f(x)=e^x-ax^2-bx-1,其中a,b属于R,e=2.71828...为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数, 8 2016-12-01 已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）．（1）若a=-1，求函数y=f（x）?g（x）在[- 2 2016-12-01 已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）． （I） 当时，求函数f（x）的极值； 5 2017-10-04 已知函数f（x）=ax2-ex（a∈R，e为自然对数的底数），f′（x）是f（x）的导函数．（1）解关于x的不等式： 4 2016-07-29 设f（x）=ex-a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…），且f′（0）=0．（Ⅰ）求实数a的值，并求函数f 4 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式