Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x

已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

（1）证明：任取x 1 、x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ，f（x 2 ）=f[x 1 +（x 2 -x 1 ）]， 于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 -x 1 ）． ∵x 2 ＞x 1 ，∴x 2 -x 1 ＞0．∴f（x 2 -x 1 ）＜0． ∴f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 -x 1 ）＜f（x 1 ）． 故函数y=f（x）是单调减函数． （2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′）， ∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）． ∴f（0）=0． 再令x′=-x，则可得f（0）=f（x）+f（-x）． ∵f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）．故y=f（x）是奇函数． （3）由函数y=f（x）是R上的单调减函数， ∴y=f（x）在[m，n]上也为单调减函数． ∴y=f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），最小值为f（n）． ∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）． 同理，f（m）=mf（1）． ∵f（3）=-3，∴f（3）=3f（1）=-3． ∴f（1）=-1．∴f（m）=-m，f（n）=-n． 因此，函数y=f（x）在[m，n]上的值域为[-n，-m]．