Question

函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成立，当x∈（0，2]时，f（x）=-

函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成立，当x∈（0，2]时，f（x）=-x2+1．（Ⅰ）当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1的解集．

Answer 1

（Ⅰ）当x=0时，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0．…（1分）
当x∈[-2，0）时，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=x²-1                                 …（3分）
由f（x+4）=f（x），知y=f（x）又是周期为4的函数，所以当x∈[4k-2，4k]时，x-4k∈[-2，0）
∴f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²-1，…（5分）
当x∈（4k，4k+2]时x-4k∈（0，2]，∴f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+1    …（7分）
故当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式为

(x?4k)2?1，x∈[4k?2，4k) 0          x＝4k，(k∈Z) ?(x?4k)2+1，x∈(4k，4k+2]

      …（9分）
（Ⅱ）当x∈（-2，2]时，由f（x＞-1），得

?2＜x＜0 x2?1＞?1

，或

0＜x≤2 ?x2+1＞?1

，或x=0．
解之，得-2＜x＜

2

，…（12分）
∵函数y=f（x）的周期为4，∴f（x）＞-1的解集为{x|4k-2＜x＜4k+