Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-3，0），且过D（2，0），设点A（1，12

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-3，0），且过D（2，0），设点A（1，12）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆，
它的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），且过D（2，0），
∴椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2＝1．
（2）椭圆

x2

4

+y2＝1的参数方程是：

x＝2cosα y＝sinα

，α为参数．
∴P（2cosα，sinα），
设线段PA的中点为M（x，y），
∵A（1，

1

2

），P（2cosα，sinα），
∴x=

1+cosα

2

，y＝

1 2 +sinα

2

，
∴cosα=2x-1，
sinα=2y-

1

2

，
∴（2x-1）²+（2y-

1

2

）²=1．
∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）²+（2y-

1

2

）²=1．