如图在直角坐标系xoy中，圆O与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4
如图在直角坐标系xoy中，圆O与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交...
如图在直角坐标系xoy中，圆O与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于点M、N．（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内一定点．
展开
1个回答
展开全部
（1）∵圆O的圆心为原点O，直径|AB|=4，
∴圆O的半径r=2，可得圆O方程为x2+y2=4，
∵定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，∴直线l的方程为x=4，
由∠PAB=30°，可得直线AP的斜率k=tan30°=
，所以直线AP的方程为y=
（x+2），
∵AB是圆O的直径，
∴AP⊥BP，可得直线BP的斜率k'=
=-
，直线BP的方程为y=-
（x-2）．
将x=4分别代入直线AP、BP方程，可得M（4，2
）、N（4，-2
）．
∴MN的中点坐标为（4，0），且MN=4
．
∴以MN为直径的圆，圆心为（2，0），半径R=2
，可得它的方程为（x-4）2+y2=12．
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则x02+y02=4 （y0≠0），可得y02=4-x02，
∵直线AP的方程为y=
（x+2），直线BP的方程为y=
（x-2），
将x=4代入，可得M的纵坐标yM=
，N的纵坐标yN=
．
∴M（4，
）、N（4，
），
可得|MN|=|
-
|=
，
且MN的中点坐标为（4，-
）．
由此可得以MN为直径的圆，圆心为（4，-
），
半径等于
，
由垂径定理，可得此圆截x轴的线段长度为：
|CD|=2
=
?
=
?
∴圆O的半径r=2，可得圆O方程为x2+y2=4，
∵定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，∴直线l的方程为x=4，
由∠PAB=30°，可得直线AP的斜率k=tan30°=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵AB是圆O的直径，
∴AP⊥BP，可得直线BP的斜率k'=
| ?1 |
| k |
| 3 |
| 3 |
将x=4分别代入直线AP、BP方程，可得M（4，2
| 3 |
| 3 |
∴MN的中点坐标为（4，0），且MN=4
| 3 |
∴以MN为直径的圆，圆心为（2，0），半径R=2
| 3 |
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则x02+y02=4 （y0≠0），可得y02=4-x02，
∵直线AP的方程为y=
| y0 |
| x0+2 |
| y0 |
| x0?2 |
将x=4代入，可得M的纵坐标yM=
| 6y0 |
| x0+2 |
| 2y0 |
| x0?2 |
∴M（4，
| 6y0 |
| x0+2 |
| 2y0 |
| x0?2 |
可得|MN|=|
| 6y0 |
| x0+2 |
| 2y0 |
| x0?2 |
| 4|x0?4| |
| |y0| |
且MN的中点坐标为（4，-
| 4(1?x0) |
| y0 |
由此可得以MN为直径的圆，圆心为（4，-
| 4(1?x0) |
| y0 |
半径等于
| 2|x0?4| |
| |y0| |
由垂径定理，可得此圆截x轴的线段长度为：
|CD|=2
|
| 4 |
| |y0| |
| 12?3x02 |
4
| ||
| |y0| |
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
