Question

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k≠0）的图象与反比例函数y=3x的图象分别交于第一、三象限的

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k≠0）的图象与反比例函数y=3x的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）．连接AB、BC、CD、DA．（1）四边形ABCD的形状一定是______．（2）若m=2且四边形ABCD是矩形，求点B的坐标．（3）试探究：当直线y=kx绕原点O旋转时，四边形ABCD能不能是菱形？若能，请直接写出A、B、C、D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）四边形ABCD一定是平行四边形，（2分）理由如下：
∵A（-m，0）、C（m，0），
∴OA=OC，
由对称性可知OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）当m=2时，点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（-2，0），（3分）
若四边形ABCD是矩形，则有OB=OC=2
设点B的坐标为（x，y），得

x2+y2＝22 xy＝ 3

，（5分）
解得：

x1＝1 y1＝ 3

，

x2＝ 3 y2＝1

（负值舍去），（6分）
∴点B的坐标为（1，

3

）或（

3

，1）；（7分）

（3）若四边形ABCD是菱形，（8分）
∵OA=OC，OB=OD，
则 BD⊥AC，
又∵点A、点C在x轴上，
∴直线BD与y轴重合，这与“双曲线y＝

3

x

不与坐标轴相交”矛盾，（11分）
∴四边形ABCD不可能是菱形．（12分）
故答案为：平行四边形．