Question

高一数学求值域，分离常数法

题目如下：y=（1-x方）/（1+x方）。
分解后为y=｛2/（1+x方）｝-1。
为什么不是y=1-｛（2x方）/（1+x方）｝？

Answer 1

你好，你给的分解式中，分子分母中都含自变量x，不易确定分式的取值范围，也就不易确定y的值域了。
∴ ｛（2x方）/（1+x方）｝我们一般还要分解为
（2x²+2-2）/（1+x²）=2-2/（1+x²） 结果还是
y=2/(1+x²）-1 此时 x²≥0，最小为0，y取最大值=1，当x趋于正负无穷大时，y趋于-1，所以y的值域为 （-1，1]
注：
所谓分离常数就是把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子

Answer 2

分离常熟法，要求分子的指数小于分母的指数，y=1-｛（2x方）/（1+x方）｝分子的指数是2次，而分母是一次，当然不行了。呵呵，以后记住就行了。

Answer 3

这题可以用Δ法/有界性做。由y=(1-x²)/(1+x²)整理得2yx²+y-1=0
讨论(1)y=0时可以成立；
（2）y!=0,x²=(1-y)/2y,而x²>=0,得到(1-y)/2y>=0,等价于(1-y)y>=0,注意y不等于0
最后综合（1）（2），为[0,1]