Question

求定积分∫(上限为1，下限为0)x^2/(1+x^2)^2 dx

Answer 1

在分子上+1-1，
原式拆为2项=∫1/(1+x^2) dx -∫1/(1+x^2)^2 dx
其中第1个积分∫1/(1+x^2) dx的原函数是arctanx，计算得=π/4，
第2个积分∫1/(1+x^2)^2 dx用换元令x＝tant，得=∫(上限为π/4，下限为0)（cost）^2 dt
=∫(上限为π/4，下限为0)（1+cos2t）/2 dt
（计算得）=π/8+1/4，
原式=π/8 - 1/4。

Answer 2

原式=∫([0，1]（x^2+1-1)dx/(1+x^2)
=∫([0，1]dx-∫([0，1]dx/(1+x^2)
=[x-arctanx][0,1]
=1-π/4。