Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（

sinA

cosA

 + 

sinC

cosC

）=

sinAsinC

cosAcosC

∴sinB?

sinAcosC+sinCcosA

cosAcosC

=

sinAsinc

cosAcosC

∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，
所以a，b，c成等比数列．
（II）若a=1，c=2，则b²=ac=2，
∴cosB＝

a2+c2?b2

2ac

＝

3

4

，
∵0＜B＜π
∴sinB=

1?cos2B

＝  

7

4

∴△ABC的面积S＝

1

2

acsinB＝

1

2

×1×2×

7

4

＝

7

4

．