Question

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，函数f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，函数f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0，则当x＞3时，2x2+2y2的取值范围是______．

Answer 1

∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，
∴f（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
设M（x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则2x²+2y²表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方的2倍，
结合圆的知识可知13＜x²+y²＜49，
∴2x²+2y²的取值范围是（26，98），
故答案为：（26，98）．