Question

）如图所示，在⊙O中， ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连 接BC．（1）求证：AC 2 =AB?AF；（2

）如图所示，在⊙O中， ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连 接BC．（1）求证：AC 2 =AB?AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

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Answer 1

(1)证明见解析；（2） cm 2 ．

试题分析：（1）由 ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证； （2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积-△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积． （1）证明：∵ ， ∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF， ∴△ACF∽△ABC， ∴ ，即AC 2 =AB?AF； （2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E， ∵∠ABC=60°， ∴∠AOC=120°， 又OA=OC，   ∴∠AOE=∠COE= ×120°=60°， 在Rt△AOE中，OA=2cm， ∴OE=OAcos60°=1cm， ∴AE= cm， ∴AC=2AE=2 cm， 则S 阴影 =S 扇形OAC ﹣S △ AOC = cm 2 ．