Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3 3 ，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC内的

如图，在矩形ABCD中，AB=3 3 ，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC内的射影O恰好落在AB上（1）求证：AP⊥BP；（2）求AB与平面BPD所成的角的正弦值．

Answer 1

证明：（I）由题意知，PO⊥面ABD， ∵PO?ABP， ∴面ABP⊥面ABD， 又∵AD⊥AB，面ABP∩面ABD=AB， ∴AD⊥面ABP， ∴ AD⊥BP， ∵BP⊥PD ∴BP⊥面APD， ∴BP⊥AP， （II）∵BP⊥APD，BP?面BPD， ∴面APD⊥面BPD． 作AH⊥PD于H，则AH⊥面BPD，连BH， 则BH为AB在面BPD上的射影， ∴∠ABH为AB与面BPD所成的角． 又在Rt △APD中，C′D=3 3 ，AD=3 ， ∴ AP=3 2 ，∴ AH= 6 ∴ sin∠ABH= AH AB = 2 3 ， 即AB与平面BPD所成角的正弦值为 2 3 ．