Question

极限 证明题

用定义证明:lim(x--＞-8)x∧(1/3)＝2
题目确实打错了，忘了负号。。。不好意思啊。

Answer 1

说明：此题有错，应该是：用定义证明:lim(x--＞-8)x∧(1/3)=-2。
证明：对于任意的ε>0，令│x+8│<1，则-9<x<-7 ==>x<0。
解不等式 │x^(1/3)+2│=│(x+8)/(x^(2/3)-2x^(1/3)+4)│ (应用两数立方和公式)
<│x+8│/4<ε (∵x<0，∴x^(2/3)-2x^(1/3)>0)
得│x+8│<4ε，取δ=min[1,4ε]。
于是，对于任意的ε>0，总存在δ=min[1,4ε]。当│x+8│<δ时，有│x^(1/3)+2│<ε。
即 lim(x->-8)[x^(1/3)]=-2。

Answer 2

令f(x)=x^(1/3), 则易知f(x)是一个连续函数
∴lim(x--＞-8)f(x)=f(-8)=-2
∴lim(x--＞-8)x∧(1/3)＝-2
（题目是不是出错了？）