Question

已知椭圆C： =1（a>b>0）的离心率为 ，且在x轴上的顶点分别为 （1）求椭圆方程；（2）若直线

已知椭圆C： =1（a>b>0）的离心率为 ，且在x轴上的顶点分别为 （1）求椭圆方程；（2）若直线 ： 与 轴交于点T，P为 上异于T的任一点，直线 分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.

Answer 1

（1）     （2）见解析

(1)由e和a的值，可求出a,c进而求出b,所以椭圆的标准方程确定. （2）设 ,直线 的方程为 ，与椭圆方程联立解方程组可得 M的坐标，同理由直线 的方程 可求出N的坐标.可求出MN的方程，再令y=0，得直线MN与x轴的交点坐标它与右焦点坐标为 重合，可求出t值，若满足t>2,则存在，否则不存在 （1）由已知椭圆C的离心率 ，可得 椭圆的方程为 （2）设 ，直线 斜率为 则直线 的方程为 由 ，解得 点坐标为 （ ， ） 同理，设直线 的斜率为    则 点坐标为（ ， ） 由直线 与直线 的交点 在直线 上 又 ， ， 又 的方程为      令 ，得 即直线MN与 轴交点为       又 又椭圆右焦点为 ，故当 过椭圆的焦点