Question

已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s 2 ，不考虑地球自转的影响．求：（1）推导第一宇宙

已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s 2 ，不考虑地球自转的影响．求：（1）推导第一宇宙速度v 1 的表达式，并计算其数值；（2）若地球自转周期T=24h，计算地球同步卫星距离地面的高度h；（3）若已知万有引力常量G=6.7×10 -11 N?m 2 /kg 2 ，估算地球的平均密度ρ．（以上计算结果保留一位有效数字）

Answer 1

（1）当卫星在地球表面附近运动行时，受地球的万有引力提供向心力，即 G mM R 2 =m v 2 R 得：卫星运行速度 v= GM R       ① 又因为在不考虑地球的自转，地球表面的重力和万有引力相等，故有 mg=G mM R 2 ，所以有 GM=gR 2        ② 将②代入①可得： v 1 = gR = 10×6400×1 0 3 m/s =8×10 3 m/s （2）同步卫星运动地周期与地球自转周期相同，即T=24h=24×3600s，同步卫星受到地球的万有引力提供向心力，故有： G mM (R+h ) 2 =m(R+h)( 2π T ) 2 可得 R+h= 3 GM T 2 4 π 2 即： h= 3 GM T 2 4 π 2 -R               ③ 将②代入③得： h= 3 g R 2 T 2 4 π 2 -R = 3 10×(6400×1 0 3 ) 2 ×(24×3600 ) 2 4×3.1 4 2 -6400× 10 3 m≈4×10 7 m （3）由②式得 M= g R 2 G      ④ 由几何知识知，地球的体积V= 4 3 π R 3          ⑤ 所以地球的密度ρ= M V = g R 2 G 4 3 π R 3 = 3g 4πRG = 3×10 4×3.14×6400×1 0 3 ×6.7×1 0 -11 kg/m 3 ≈6×10 3 Kg/m 3 ． 答：（1）第一宇宙速度表达式 v 1 = GM R ，数值为8×10 3 m/s； （2）同步卫星距地面的高度h=4×10 7 m； （3）地球的平均密度ρ=6×10 3 Kg/m 3 ．