（2012?枣庄二模）已知椭圆C：x2 a2 +y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，32），椭圆
（2012?枣庄二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，32），椭圆C的焦点与曲线2x2?2y2＝1的焦点重合．（1）...
（2012?枣庄二模）已知椭圆C：x2 a2 +y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，32），椭圆C的焦点与曲线2x2 ?2y2 ＝1的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定点的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．（3）在（2）问的条件下，求以线段MN为直径的圆的面积的最小值．
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（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，
），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴椭圆C的方程为
+
＝1；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±
不妨令P（1，
），Q（1，-
）
由A，P，M三点共线，得
＝
，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM＝
＝
∴直线AM的方程为y=
(x+2)
代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
∴-2x1=
，∴x1=
，∴y1=
∴P（
，
）
同理可得Q（
，
）
∴kFP＝
| 3 |
| 2 |
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴椭圆C的方程为
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±
| 3 |
| 2 |
不妨令P（1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由A，P，M三点共线，得
| m?0 |
| 4?(?2) |
| ||
| 1?(?2) |
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM＝
| m?0 |
| 4?(?2) |
| m |
| 6 |
∴直线AM的方程为y=
| m |
| 6 |
代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
∴-2x1=
| 4m2?108 |
| 27+m2 |
| 54?2m2 |
| 27+m2 |
| 18m |
| 27+m2 |
∴P（
| 54?2m2 |
| 27+m2 |
| 18m |
| 27+m2 |
同理可得Q（
| 54?2n2 |
| 27+n2 |
| 18n |
| 27+n2 |
∴kFP＝
y
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