设f（x）在[-nπ，nπ]（n∈N）上连续，且f（x）=cos4x+sin3x1+cos4x+∫nπ?nπf（x）|sinx|dx，求f（x）
设f（x）在[-nπ，nπ]（n∈N）上连续，且f（x）=cos4x+sin3x1+cos4x+∫nπ?nπf（x）|sinx|dx，求f（x）．...
设f（x）在[-nπ，nπ]（n∈N）上连续，且f（x）=cos4x+sin3x1+cos4x+∫nπ?nπf（x）|sinx|dx，求f（x）．
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设：
| ∫ | nπ ?nπ |
则：f(x)＝cos4x+
| sin3x |
| 1+cos4x |
从而：f(x)|sinx|＝cos4x|sinx|+
| sin3x |
| 1+cos4x |
再对该式两边积分得：
| ∫ | nπ ?nπ |
| ∫ | nπ ?nπ |
| sin3x |
| 1+cos4x |
根据定积分的偶倍奇零性质得：
| ∫ | nπ ?nπ |
| ∫ | nπ 0 |
| ∫ | nπ 0 |
而cos4x|sinx|和|sinx|都是以π为周期的函数：
于是：
| ∫ | nπ ?nπ |
| ∫ | π 0 |
| ∫ | π 0 |
=2n
| ∫ | π 0 |
| ∫ | π 0 |
| 4n |
| 5 |
解得：A＝
| 4n |
| 5(1?4n) |
从而：f(x)＝cos4x+
| sin3x |
| 1+cos4x |
| 4n |
| 5(1?4n) |
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