Question

已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，数列{bn}满足：bn＝2an+1，前n项和为Tn，设Cn=T2n+1-Tn． （1）求数

已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，数列{bn}满足：bn＝2an+1，前n项和为Tn，设Cn=T2n+1-Tn． （1）求数列{bn}的通项公式；（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有Cn＜1621成立，若存在，求自然数k的最小值．若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）a₁=2，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴bn＝

2 3 ，(n＝1) 1 n ，(n＞1)

（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵Cn+1?Cn＝

1

2n+2

+

1

2n+3

?

1

n+1

＝

1

2n+3

?

1

2n+2

＜0
∴数列{C_n}是单调递减数列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
当n=1时，C1＝

1

2

+

1

3

＝

5

6

＞

16

21

当n=2时，C2＝

1

3

+

1

4

+

1

5

＝

47

60

＞

16

21

当n=3时，C3＝

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

＝

319

420

＜

320

420

＝

16

21

当n≥3时，Cn≤C3＜

16

21

故，k_min=3．