Question

设函数y=f（x），x∈R的导函数f′（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是（　

设函数y=f（x），x∈R的导函数f′（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是（　　）A．f（0）＜e-1f（1）＜e2f（2）B．e2f（2）＜f（0）＜e-1f（1）C．e2f（2）＜e-1f（1）＜f（0）D．e-1f（1）＜f（0）＜e2f（2）

Answer 1

构造辅助函数，令g（x）=e^-x?f（x），
则g′（x）=（e^-x）′?f（x）+e^-x?f′（x）
=-e^-x?f（x）+e^-x?f′（x）
=e^-x（f′（x）-f（x））．
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））＜0，
∴函数令g（x）=e^-x?f（x）为实数集上的减函数．
则g（-2）＞g（0）＞g（1）．
∵g（0）=e⁰f（0）=f（0），
g（1）=e^-1f（1），
g（-2）=e²f（-2），
又f（-x）=f（x），
∴g（-2）=e²f（2）
∴e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）．
故选D．