Question

如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交直线BC于点E，交⊙O于点D．（1）过点D作MN∥BC，求证：MN是⊙O切

如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交直线BC于点E，交⊙O于点D．（1）过点D作MN∥BC，求证：MN是⊙O切线；（2）求证：AB?AC=AD?AE；（3）如图2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延长线于点E，EA的延长线交⊙O于点D．结论AB?AC=AD?AE是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

解答：证明：（1）连接OD交BC于点H，
∵AD平分∠BAC，
∴

BD

＝

CD

．
∴OD⊥BC于H．
∵BC∥MN，
∴OD⊥MN于点D．
∴MN是⊙O的切线．

（2）连接CD，
∵∠ABE=∠ADC，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴

AB

AE

＝

AD

AC

．
∴AB?AC=AD?AE．

（3）结论AB?AC=AD?AE仍然成立．
连接BD，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACE=∠BDA．
∴△AEC∽△ABD．
∴

AE

AC

＝

AB

AD

．
∴AB?AC=AD?AE．