Question

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）若将“边长为5的正方形”改为“BC长为m（m＞2），AB长为n（n＞2），的矩形”，其他条件不变，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分线，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．

（3）
作PN⊥BC于点N．
△ABE∽△ECF
∴

AB

EC

=

BE

CF

即

n

m?2

=

2

CF

∴CF=

2(m?2)

n

设PN=x，则EN=m-2+x．
∵PN∥CF
∴△EFC∽△EPN
∴

CF

PN

＝

EC

EN

，即

2(m?2) n

x

=

m?2

m?2+x

解得：x=

2m?4

n?2

∵△ABE∽△ENP
∴

AE

EP

=

AB

EN

=

n

m?2+ 2m?4 n?2

=

n(n?2)

(m?2)(n?2)+2m?4

=

n?2

m?2

，
当m=n＞2时，AE=EP，
当n＞m＞2时AE＞EP，
当m＞n＞2时，AE＜EP．