Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上,又知此抛物线上一点 已知抛物线顶点在

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上,又知此抛物线上一点M(1,m)到焦点的距离为3
1。求此抛物线的方程式

2。若此抛物线与直线y=kx-2相交于不同的两点A.B,且以AB为直径的圆恰好过原点，求线段AB的长

Answer 1

解:(1) 由已知设抛物线的方程是:y^2=2px(p>0)

其准线 x=-p/2
有 1-(-p/2)=3 解得 p=4

所以抛物线方程是 y^2=8x

(2)由已知设A(x1,kx1-2),B(x2,kx2-2)
则 |AB|=(√(1+k^2))|x1-x2| (1)
且 x1.x2+(kx1-2)(kx2-2)=0

即(k^2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4=0 (2)

由y=kx-2 和 y^2=8x消去y并化简得
k^2x^2-(4k+8)x+4=0
当△=(4k+8)^2-16k^2=64(k+1)>0
即k>-1时

x1+x2=(4k+8)/k^2, x1.x2=4/k^2
将其代入(2)式并化简得
k=1/4 (k>-1)

此时|x1-x2|=(√△)/k^2=64√5
(√(1+k^2))=(√17)/4

所以 |AB|=(√(1+k^2))|x1-x2|
=((√17)/4)*(64√5)
=16√85

希望对你有点帮助！