Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝kx(k＞0)的图象与AC边交于点E．（1）设点E，F的坐标分别为：E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，求证：S1=S2；（2）若y2=1，求△OEF的面积；（3）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）证明：设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），△AOE与△FOB的面积分别为S₁，S₂，
由题意得y₁=

k

x1

，y₂=

k

x2

，
∴S₁=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，S₂=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S₁=S₂；

（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（

k

4

，4），F（6，

k

6

），
∵y₂=1，∴

k

6

=1，
∴k=6，
∴E点坐标为：（

3

2

，4），F点坐标为：（6，1），
∴EC=6-

3

2

=

9

2

，FC=4-1=3，
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=4×6-

1

2

×

3

2

×4-

1

2

×6×1-

1

2

×

9

2

×3，
=

45

4

；

（3）解：∵E，F两点坐标分别为E（

k

4

，4），F（6，

k

6

），
∴S_△ECF=

1

2

EC?CF=

1

2

（6-

k

4

）（4-

k

6

），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=24-

1

2

k-

1

2

k-S_△ECF，
=2