Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，O

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3。 （1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（-5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式。

Answer 1

解：（1）依题意， 在 中， ∴ ∵ ∴ 而 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点D，E的坐标分别为 。 （2）设抛物线的解析式为 ∵抛物线过点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 对称轴的方程为 ∴对称轴的方程为 。 （3）存在这样的点P，使 的内心在坐标轴上 ①若△PFH的内心在y轴上，设直线PH与x轴相交于点M， ∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM， ∴FO=MO， ∴点M的坐标为（5，0） ∴直线PH的解析式为y=-x+5 解方程组 ，得 ， ∴点P的坐标为（7，-2）。 ②若△PFH的内心在x轴上，设直线PF与y轴相交于点N， ∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN， ∴HO=NO， ∴点N的坐标为（0，-5）， ∴直线FN的解析式为y=-x-5 解方程组 ，得 ， ∴点P的坐标为（12，-17） 综合①②可知点P的坐标为（7，-2）或（12，-17）。 （4）点Q的坐标为 ，直线 的解析式为y=-3x+5。