Question

如图，抛物线y=-x 2 +2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接

如图，抛物线y=-x 2 +2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF ∥ DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

Answer 1

（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）． 抛物线的对称轴是：直线x=1． （2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b． 把B（3，0），C（0，3）分别代入得： 3k+b=0 b=3 解得： k=-1 b=3 ． 所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3． 当x=1时，y=-1+3=2， ∴E（1，2）． 当x=m时，y=-m+3， ∴P（m，-m+3）． 在y=-x 2 +2x+3中，当x=1时，y=4． ∴D（1，4） 当x=m时，y=-m 2 +2m+3， ∴F（m，-m 2 +2m+3） ∴线段DE=4-2=2， 线段PF=-m 2 +2m+3-（-m+3）=-m 2 +3m ∵PF ∥ DE， ∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形． 由-m 2 +3m=2，解得：m 1 =2，m 2 =1（不合题意，舍去）． 因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形． ②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3． ∵S=S △BPF +S △CPF 即S= 1 2 PF?BM+ 1 2 PF?OM= 1 2 PF?（BM+OM）= 1 2 PF?OB． ∴S= 1 2 ×3（-m 2 +3m）=- 3 2 m 2 + 9 2 m（0＜m＜3）．