Question

如图，直线y=- x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）。

如图，直线y=- x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）。
（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒 个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动，设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S。①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S 0 是②中函数S的最大值，那么S 0 =（ ）。

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Answer 1

解：令x=0，则y=4，令y=0，则x=3， ∴A（3，0），C（0，4）， ∵二次函数的图象过点C（0，4）， ∴可设二次函数的关系式为y=ax 2 +bx+4， 又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0）， ∴ ，解之，得a=- ，b= ， ∴所求二次函数的关系式为 ； （2）∵ = ， ∴顶点M的坐标为（1， ）， 过点M作MF⊥x轴于F， ∴S 四边形AOCM =S △AFM +S 梯形FOCM = ， ∴四边形AOCM的面积为10； （3）①不存在DE∥OC， ∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上， 此时1＜t＜2， 在Rt△AOC中，AC=5， 设点E的坐标为（x 1 ，y 1 ）， ∴ ， ∴ ， ∵DE∥OC， ∴ ， ∴t= ， ∵t= ＞2，不满足1＜t＜2， ∴不存在DE∥OC； ②根据题意得D，E两点相遇的时间为 （秒）， 现分情况讨论如下： （ⅰ）当0＜t≤1时， ； （ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x 2 ，y 2 ）， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （ⅲ）当2＜t＜ 时，设点E的坐标为（x 3 ，y 3 ）， 类似ⅱ可得 ，设点D的坐标为（x 4 ，y 4 ）， ∴ ， ∴ ， ∴S=S △AOE -S △AOD = = ③ 。