Question

在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；

在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）AOCO＝DOBO；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是______．（请填写符合条件的序号）

Answer 1

如右图所示，
（1）若OB=OC，结合AB=CD，不能证明△ABC≌△DCB，也不能证明△AOB≌△DOC，更不能证明△AOB∽△DOC，
故此选项错误；

（2）若AD∥BC，四边形ABCD是梯形，则△AOD∽△COB，于是

OA

OC

=

OD

OB

，结合∠AOB=∠DOC，
可知△AOB∽△COD，那么∠BAC=∠CDB，
若四边形ABCD是平行四边形，则∠BAC≠∠CDB，所以此选项错误；


（3）∵

AO

CO

=

DO

BO

，则

AO

DO

＝

CO

BO

且∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴∠BAC=∠CDB，故此选项正确；

（4）∵∠OAD=∠OBC，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴

OA

OB

＝

OD

OC

，
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，故此选项正确．
故答案为：（3）（4）．