Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+2ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝?38时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ） 当a＞0

已知函数f（x）=x3-3ax2+2ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝?38时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ） 当a＞0时，函数g（x）=f（x）+3-2ax在区间[1，2]上存在实数x，使得g（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a＝?

3

8

时，函数为f（x）=x³+

9

8

x²-

3

4

x+1，
则由f′（x）=3x²+

9

4

x-

3

4

＞0，得x＜-1或x＞

1

4

，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（

1

4

，∞）．
（Ⅱ）g（x）=x³-3ax²+4，则g′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令g′（x）=0，解得x=0或x=2a，
在区间[1，2]上存在实数x，使得g（x）＜0成立，等价于x∈[1，2]时，g（x）_min＜0，
（1）若0＜a≤

1

2

，在区间x∈[1，2]时，g′（x）≥0，即g（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴有g（x）_min=g（1）＜0，解得a＞

5

3

，不合题意；
（2）若

1

2

＜a＜1，在[1，2a]上函数g（x）单调递减，在[2a，2]上函数g（x）单调递增，
∴有g（x）_min=g（2a）＜0，解得a＞1，不合题意；
（3）若a≥1，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴有g（x）_min=g（2）＜0，解得a＞1，∴a＞1；
综上所述，a的取值范围是（1，+∞）．