Question

已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+2．（1）求f（x）的表达式；（2）画出f（x）的图象

已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+2．（1）求f（x）的表达式；（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²-2x+2=-x²-2x+2．
又∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）=x²+2x-2．
又f（0）=0，∴f（x）=

x2+2x?2，x＜0 0，x＝0 ?x2+2x+2，x＞0

（2）先画出y=f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y=f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示．
由图可知，其增区间为[-1，0），（0，1]
减区间为（-∞，-1]，[1，+∞）．