Question

大神们这道题你们怎么做呢，写下过程啊！！？

Answer 1

你可以直接求导，
f '(x)=1/(1+x^2)
=∑(-1)^n·x^(2n)
然后在[0，x]上积分得到
f(x)-f(0)
=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)
∵f(0)=π/4
∴ f(x)=π/4+∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)

【附注，∑下面是n=0，上面是∞】

追问

可以直接带入arctant的幂级数公式么

追答

不能！

追问

奥，是因为x已经变成函数了么

追答

是的，如果是简单的幂函数还可以

追问

谢谢！！！！

Answer 2

因为 tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=π/4+arctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|<1
1/(1-x)=1+x+x^2+....
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...+(-1)^n*x^n
逐项积分得arctanx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]

追问

为什么呢，不会算~T_T~

三角公式是么

明白了，会了，谢谢！