Question

设函数Z=ln(x+y^2),则求全微分dz=?

什么是全微分，怎么求全微分？需要详细的过程，谢谢！

Answer 1

全微分的定义
　　函数z=f(x, y) 的两个全微分偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和
　　f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y
　　若该表达式与函数的全增量△z之差，
　　当ρ→0时，是ρ( )
　　的高阶无穷小，
　　那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。
　　记作：dz=f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y
根据全微分的定义分别对x、y求偏导
f‘x（x,y）=(1/x+y^2)*1=1/x+y^2
f'y (x,y) =(1/x+y^2)*2y=2y/x+y^2
代入全微分表达式可得：dz=（1/x+y^2）△x+（2y/x+y^2)△y
（此题的关键在于理解全微分定义，能求Z的两个偏导）

追问

dz=1/(x+y^2)dx+2y/(x+y^2)dy,是这样的吧

根据全微分的定义分别对x、y求偏导
f‘x（x,y）=(1/x+y^2)*1=1/x+y^2
f'y (x,y) =(1/x+y^2)*2y=2y/x+y^2
理解不了，为什么求偏导的时候这里(1/x+y^2)是一样的，乘上1和2y是什么意思，请予以帮助，谢谢

追答

对ln(x+y^2)分别求x y偏导得到的！所谓偏导就是 我们在求对X偏导时把y看成常数，同样在求y时把x看成常数 已知lnX的导数是1/X 而且 x+y^2中对x求偏导即为1 对y求偏导即为2y 在遇到这种复合式子的时候求导法则是先对lnX求导 X里面还包含了x+y^2 把总的导数（1/X）和X包含的式子（x+y^2）的偏导相乘就得到相应的Z偏导 不好意思表达能力有限只能解释成这样了