∫dx/(16-x^4)

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powerstone_83
2011-10-10 · TA获得超过2265个赞

知道小有建树答主

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把1/(16-x^4)=1/8(1/(4-x^2)+1/(4+x^2))=1/8(1/4(1/(2-x)+1/(2+x))+1/(x^2+4))
1/(2-x)积分为-ln(2-x)，1/(2+x)积分为ln(2+x)，1/(x^2+4)积分为arctan(1+x^2/4)/4
所以最后答案为(ln((2+x)/(2-x))+arctan(1+x^2/4))/32+C

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fin3574

高粉答主

2011-10-10 · 你好啊，我是fin3574，請多多指教

fin3574

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先来个待定系数法：
设1/(16-x^4)=1/[(2-x)(2+x)(4+x²)] = A/(2-x) + B/(2+x) + (Cx+D)/(4+x²)
即1=A(2+x)(4+x²) + B(2-x)(4+x²) + (Cx+D)(2-x)(2+x)
代入x=2，1=A(4)(8) => A=1/32
代入x=-2，1=B(4)(8) => B=1/32
代入A=B=1/32，x=0
1=1/32*(2)(4) + 1/32*(2)(4) + D*(2)(2) => D=1/8
代入A=B=1/32，D=1/8，x=1
1=1/32*(3)(5) + 1/32*(1)(5) + (C+1/8)(1)(3) => C=0

1/(16-x^4) = 1/[32(2-x)] + 1/[32(2+x)] + 1/[8(4+x²)]
∴∫dx/(16-x^4) = (1/32)∫dx/(2-x) + (1/32)∫dx/(2+x) + (1/8)∫dx/(4+x²)
= (-1/32)ln|2-x| + (1/32)ln|2+x| + (1/16)arctan(x/2) + C
=(1/32)ln| (2+x)/(2-x) | + (1/16)arctan(x/2) + C