Question

关于陈纪修第二版中的反函数连续性定理第一步中的一些疑问。

定理是这样的：函数f(x)在闭区间[a,b]连续严格单调增的，f(a)=α,f(b)=β,则它的反函数x=f-1(y)在[α，β]连续严格单调增。
证：第一步是证函数f(x)的值域在闭区间[α,β],显然有α,β属于函数f(x)的值域,然后设
γ∈(α，β)中任意一点,有集合S={x\x∈[a,b],f(x)＜γ}.集合S是非空有上界，根据确界存在定理，集合S有上确界，记为x0=sup S,【则x0∈（a，b）】。根据f(x)的严格单调增加性,
【当x＜x0时,f(x)＜γ;当x＞x0时,f(x)＞γ.】利用"开区间上单调函数任意点的左右极限都存在"(已经证明)，有f(x0)的左极限,即f(x0-)≤γ≤f(x0+).根据f(x)在x0这点的连续性有
f(x0)=f(x0-)=f(x0+)=γ.所以说明f(x)的值域在闭区间[α,β]
疑问1:在上面的【则x0∈（a，b）】中，为什么上确界x0不等于a，也不能等于b呢，怎么理解啊，不知道我这样想对不对，因为严格单增，且γ∈(α，β)，所以α＜γ，在（α，γ)必定f(a)=α＜f(x1)＜γ,所以有x1＞a,那上确界就不会有a...同样的在（γ,β)中有
γ＜f(x2)＜β=f(b),所以有x2＜b。那么照我自己的分析，貌似可以得出其实上确界x0的范围除了要去除a这点外，还要去除[x2,b]这个范围的点？？？可事实确不是这样，感觉自己好像有什么概念的混淆和错误，又不知道怎么说
疑问2:【当x＜x0时,f(x)＜γ;当x＞x0时,f(x)＞γ.】中，为什么当x＞x0时,f(x)就只能＞γ，难道不能等于γ吗，虽然直观上感觉是不能取等号，但又不知道怎么用数学语言反驳
希望吧友们解下迷津

Answer 1

关于疑问1, 可以这样证明：
f(a)<y, 由f在a的连续性，存在t>0使得f在(a,a+t]上函数值都<y. 所以a+t∈S, 故x0>a.
类似的，f(b)>y, 由连续性，存在t>0使得f在(a-t,b)上函数值都>y, 由S的定义可知x0≤b-t<b.

至于你说的，是有道理的。但是为什么能取到你所说的x1, x2呢？这点你没有证明啊~~当然，是可以证明的，但是与上面的说法相比显得罗嗦一些。

关于疑问2, 其实书上这么写是有跳步的。可以这样论证：
反设存在x1>x0满足f(x1)≤y, 那么由于f严格单调，任意x∈[a,x1), f(x)<f(x1)≤y. 故S包含[a,x1], 则supS≥x1>x0, 矛盾！所以x＞x0时必有f(x)＞γ.

追问

谢谢你的解答！！
在这边你用连续性好像用得很顺，不知道你怎么理解。我自己理解得有点繁杂，例如：因为在a点连续，所以x趋于a的极限是f(a)，因为f(a)＜γ，根据函数极限的有序性，存在t＞0，使得x∈（a，a+t）都有f(x)小于γ，显然x∈（a，a+t）也属于S。这里的连续性需要这么理解吗

关于你证“f(b)>y.......由S的定义可知x0≤b-t<b.”你这是用直接证明的吧，但这边的不等式x0≤b-t<b有点看不懂，上确界x0≤b-t能直接得来吗

追答

关于连续性，就是这么理解的:)

x0≤b-t的原因与上面类似：
已知f(b)>y, 由f在b的连续性, 存在t>0使得f在(b-t,b]上函数值都>y.
因此(b-t, b]中的任意数都不在S中，所以S包含于[a, b-t], 当然有supS≤b-t.