Question

求解一道很吊的极限证明题，需要较详细的描述，谢谢大家！

设f(x)在[0,+00)内单调非负，当x趋近于正无穷时，f(2x)/f(x)趋近于1，求证：对于任意正数k，当x趋近于正无穷时，f(kx)/f(x)趋近于1

Answer 1

需要用到夹逼法。
不妨设它单调递增。
当k大于1小于2 的时候最好证1<f(kx)/f(x)<f(2x)/f(x)，两边的极限都是1，所以f(kx)/f(x)的极限是一。
当k大于2的时候是最具技巧性的证明：由于此时有k-1>k/2，有1<f(kx)/f(kx-x)<f(kx)/f(kx/2)
右边令2x'=kx然后实际上就是f(2x‘)/f(x’)，他的极限仍然是1，所以两边都是1，于是f(kx)/f(kx-x)的极限就是1，然后用到一个连乘的技巧limf(kx)/f(x)=limf(kx)/f(kx-x)*f(kx-x)/f(kx-2x)*f(kx-2x)/f(kx-3x)*********f(2x)/f(x)=1*1*1*1*1*1*1********1=1
当k<1的时候由于k'=1/k是大于1的，所以f(k‘x)/f(x)极限是1，f(x/k)/f(x)的极限是1，令x'=kx，所以f(x'/k)/f(x')=f(x)/f(kx)的极限是1，所以他的倒数f(kx)/f(x)的极限也是1。

追问

当k大于2的时候，由于k是任意正数，并不仅仅是整数，所以，连乘式：limf(kx)/f(x)=limf(kx)/f(kx-x)*f(kx-x)/f(kx-2x)*f(kx-2x)/f(kx-3x)*********f(2x)/f(x)不一定成立啊？比如：k=3.3？

追答

前面的关于k大于2的证明可以默认k是整数。
然后，当k不是整数的时候，使用取整。[k]表示不超过k的最大整数。
由于f([k]x)/f(x)<=(kx)/f(x)<f([k]x+x)/f(x)
又两边的极限都是1,
所以中间的极限也是1。
其实极限这种东西，只要能证明整数可以，实数用个取整就轻松搞定了。