Question

已知函数f(x)=lnx-a/x(a∈R.a≠0) （1）若a=-1，求f(x)在[1/e,e]上的最大值和最小值；

（2）若f(x)在区间[1,e]上的最小值是3/2，求实数a的值

Answer 1

解：
(1)将a=-1代入，得f(x)=lnx+1/x
导数f‘(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
当0<x<1时，f‘(x)<0，此时f(x)为减函数
当x>1时，f‘(x)>0，此时f(x)为增函数
当x=1时，f‘(x)=0，此时f(x)为最小值f(1)=ln1+1=1
x=1在[1/e,e]范围之内，所以1所求最小值；
f(1/e)=ln(1/e)+e=e-1
f(e)=lne+1/e=1+1/e
e-1>1+1/e
所以当x=1/e时，可取得最大值e-1
（2）若f(x)在区间[1,e]上的最小值是3/2，求实数a的值
导数f‘(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
当x=a时，f‘(x)=0，取得极小值，此时f(a)=lna-1
假设此极小值为最小值，即1<x<e，则f(a)=lna-1=3/2,求得lna=2.5，此时a<1，即x<1时求得此最小值，超出[1,e]范围，与假设不符；
假设a>e，则有1<x<e时，f'(x)=(x-a)/x^2<0，此时为递减区间，x=e时取得最小值，f(e)=lne-a/e=3/2，解得a=-e/2，与假设不符；
假设a<1，则有1<x<e时，f'(x)=(x-a)/x^2>0，此时为递增区间，x=1时取得最小值，f(1)=ln1-a/1=3/2，解得a=-3/2，与假设相符；
所以最后结果为a=-3/2