Question

在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=120°。取一把含30°角的三角板,把30°的角的顶点放在BC边上运动（不与B.C重合）

在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=120°。取一把含30°角的三角板,把30°的角的顶点放在BC边上运动（不与B.C重合）便一边经过点A，另一边与AC相交于点F
（1）△BAD与△CDF相似吗？若相似，请证明：若不相似，请说明理由。
（2）设BD=x,AF=y,求y与x的函数关系式，并写出定义域。
（3）当△ADF为等腰三角形时，求AF的长。

Answer 1

在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点M处，三角板绕点M旋转． （1）如图1，当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F时．求证：△BME∽△CFM； （2）如图2，当三角板的两边分别交边AB、边CA的延长线于点E、F． ① △BME与△CFM还相似吗？为什么？ ② 连结EF，△BME与△MFE是否相似？请说明理由； ③ 设AE＝x，EF＝y，求y与x的函数解析式，并写出它的定义域．
(1)证明：
因为AB＝AC＝8，∠BAC＝120°
所以∠B＝∠C＝30°
所以∠BME＋∠BEM＝150°
因为∠EMF＝30°
所以∠BME＋∠CMF＝150°
所以∠BEM＝∠CMF
所以△BME∽△CFM
(2)解：
①△BME与△CFM还相似
理由如下：
因为AB＝AC＝8，∠BAC＝120°
所以∠B＝∠C＝30°
所以∠BME＋∠BEM＝150°
因为∠EMF＝30°
所以∠BME＋∠CMF＝150°
所以∠BEM＝∠CMF
所以△BME∽△CFM
②△BME与△MFE是相似的
理由如下：
因为△BME∽△CFM
所以BE/CM＝ME/FM
因为BM＝CM
所以BE/BM＝ME/FM
所以BE/ME＝BM/FM
又因为∠B＝∠EMF＝30°
所以△BME∽△MFE
③显然BE＝8－x，容易求出BM＝CM＝4√3
因为△BME∽△MFE
所以BE/EM＝EM/EF
所以EM^2＝BE*EF＝y(8－x)
在三角形BEM中，根据余弦定理有：
EM^2＝BE^2＋BM^2－2*BE*BM*cos30°
＝(8－x)^2＋48＋12(8－x)
所以(8－x)^2＋48＋12(8－x)＝y(8－x)
y＝(8－x)＋48/(8－x)＋12
即y＝20－x＋48/(8－x)

因为当F与A重合时AE取最小值2，
当E与B重合时AE取最大值8，
三角板的两边分别交边AB、边CA的延长线于点E、F，
所以2＜x≤8

Answer 2

在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点M处，三角板绕点M旋转． （1）如图1，当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F时．求证：△BME∽△CFM； （2）如图2，当三角板的两边分别交边AB、边CA的延长线于点E、F． ① △BME与△CFM还相似吗？为什么？ ② 连结EF，△BME与△MFE是否相似？请说明理由； ③ 设AE＝x，EF＝y，求y与x的函数解析式，并写出它的定义域．
(1)证明：
因为AB＝AC＝8，∠BAC＝120°
所以∠B＝∠C＝30°
所以∠BME＋∠BEM＝150°
因为∠EMF＝30°
所以∠BME＋∠CMF＝150°
所以∠BEM＝∠CMF
所以△BME∽△CFM
(2)解：
①△BME与△CFM还相似
理由如下：
因为AB＝AC＝8，∠BAC＝120°
所以∠B＝∠C＝30°
所以∠BME＋∠BEM＝150°
因为∠EMF＝30°
所以∠BME＋∠CMF＝150°
所以∠BEM＝∠CMF
所以△BME∽△CFM
②△BME与△MFE是相似的
理由如下：
因为△BME∽△CFM
所以BE/CM＝ME/FM
因为BM＝CM
所以BE/BM＝ME/FM
所以BE/ME＝BM/FM
又因为∠B＝∠EMF＝30°
所以△BME∽△MFE
③显然BE＝8－x，容易求出BM＝CM＝4√3
因为△BME∽△MFE
所以BE/EM＝EM/EF
所以EM^2＝BE*EF＝y(8－x)
在三角形BEM中，根据余弦定理有：
EM^2＝BE^2＋BM^2－2*BE*BM*cos30°
＝(8－x)^2＋48＋12(8－x)
所以(8－x)^2＋48＋12(8－x)＝y(8－x)
y＝(8－x)＋48/(8－x)＋12
即y＝20－x＋48/(8－x)

因为当F与A重合时AE取最小值2，
当E与B重合时AE取最大值8，
三角板的两边分别交边AB、边CA的延长线于点E、F，
所以2＜x≤8

Answer 3

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