Question

已知四面体ABCD的棱长都相等,E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点

求证：面EHG垂直面FHG

Answer 1

设棱长AB=4
在直角△AGH中可得GH=2√2
在直角△EHG中，EH=EG=2,所以△EGH是直角三角形
取GH中点K，连EK,可得EK=√2
同理可得FK=√2
在△EKF中，EF=2，EK=√2,FK=√2
所以△EKF是直角三角形，即EK⊥FK，
又EK⊥GH，FK⊥GH，
根据三垂线定理
则面EHG垂直面FHG

追问

△AGH为什么是RT三角形？
还有“在直角△EHG中，EH=EG=2,所以△EGH是直角三角形”
很怪！！

追答

三角形满足勾股定理：a^2+b^2=c^2，则是直角三角形。

Answer 2

取GH中心M，连接EM，FM，连接EF

由于四面体棱长都相等，且E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点,

知三角形EGH、FGH均为以GH为底的等腰三角形

EM，FM均垂直于GH

角EMF为面EHG与FHG的夹角,只要证明此角为90度即可，即三角形EFM为等腰直角三角形

设棱长为a

则:EF=a/2

DG=/a2

DH=sqrt(3)a/2

GH=sqrt(3/4a^2-a^2/4)=sqrt(2)/2*a

EH=a/2

EM=sqrt(EH^2-MH^2)=sqrt(a^2/4-2a^2/16)=sqrt(2)/4*a

EM和FM和对称关系，FM＝EM＝sqrt(2)/4*a

FM^2+EM^2=a^2/8+a^2/8=a^2/4=EF^2

故三角形EFM为等腰直角三角形

面EHG垂直面FHG

sqrt是平方根号下的意思

追问

我百度有找到

追答

我也是找的，哈哈

Answer 3

二楼是正解。